Discusión de sistemas de ecuaciones con parámetros

En esta página veremos cómo discutir y resolver un sistema de ecuaciones con parámetros. Además, encontrarás ejemplos y ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales para que puedas practicar.

Por otro lado, para analizar los sistemas de ecuaciones lineales es importante que sepas que es la regla de Cramer y que es el teorema de Rouché – Frobenius, ya que los utilizaremos constantemente.

Ejemplo de sistema de ecuaciones lineales con parámetros

  • Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro   m :

  \begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+my+2z=0 \\[1.5ex] 3x+mz = 4\end{cases}

Primero de todo, hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & m & 4 \end{array} \right)

Ahora resolvemos el determinante de A mediante la regla de Sarrus, para ver de qué rango es la matriz:

 \displaystyle\begin{aligned}  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} & =m^2+6+0-6m-0+m \\ & = m^2-5m+6 \end{aligned}

De manera que el resultado del determinante de A depende del valor de   m . Por tanto, vamos a ver por qué valores de   m se anula el determinante. Para ello, igualamos el resultado a 0:

 \displaystyle   m^2-5m+6 = 0

Y resolvemos la ecuación de segundo grado con la fórmula:

 \displaystyle  m = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 \displaystyle  m = \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \cfrac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} =\cfrac{5 \pm 1}{2} = \begin{cases} \bm{m = 3} \\[2ex] \bm{m =2} \end{cases}

Por lo tanto, cuando   m valga 2 o 3, el determinante de A será 0. Y cuando   m sea diferente de 2 y diferente de 3, el determinante de A será distinto de 0.

Así que debemos analizar cada caso por separado:

m≠3 y m≠2:

Como acabamos de ver, cuando el parámetro   m es diferente de 2 y de 3, el determinante de la matriz A es distinto de 0. Por tanto, el rango de A es 3.

 \displaystyle  rg(A)=3

Además, el rango de la matriz A’ es 3 también, porque en su interior hay una submatriz 3×3 cuyo determinante es diferente de 0. Y no puede ser de rango 4 ya que no podemos hacer ningún determinante 4×4.

 \displaystyle  rg(A')=3

Entonces, como el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ y al número de incógnitas del sistema (3), por el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3    \end{array}} \\ \\  \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3  \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}

Una vez sabemos que el sistema es un Sistema Compatible Determinado (SCD), aplicamos la regla de Cramer para resolverlo. Para ello recuerda que la matriz A, su determinante y la matriz A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & m & 4 \end{array} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} = m^2-5m+6

Para calcular  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de la matriz A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle\bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\[1.1ex]0&m&2 \\[1.1ex] 4 & 0 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6}

Para calcular  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

  \displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6}

Para calcular  \displaystyle  z con la regla de Cramer, cambiamos la tercera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

  \displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}  1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6}

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones para el caso m≠3 y m≠2 es:

 \displaystyle  \bm{x =} \cfrac{\bm{2m^2+8-8m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{y=} \cfrac{\bm{-4+2m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{-2m+4}}{\bm{m^2-5m+6}}

Como puedes ver, en este caso la solución del sistema de ecuaciones está en función de  \displaystyle m .

Una vez hemos hallado la solución cuando  \displaystyle m es distinta de 2 y de 3, vamos a resolver el sistema para cuando  \displaystyle m es 2:

 

m=2:

Ahora vamos a analizar el sistema cuando el parámetro  \displaystyle  m es 2. En este caso las matrices A y A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 & 4 \end{array} \right)

Como hemos visto antes, cuando m=2 el determinante de A es 0. Por lo que la matriz A no es de rango 3. Pero dentro tiene determinantes 2×2 diferentes de 0, por ejemplo:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2  \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0

Por tanto, en este caso el rango de A es 2:

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de la matriz A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas da 0, así que probamos con los otros determinantes 3×3 posibles dentro de la matriz A’:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix} = 0

Todos los determinantes posibles de dimensión 3×3 dan 0. Pero, evidentemente, la matriz A’ tiene el mismo determinante 2×2 distinto de 0 que la matriz A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2  \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0

Por tanto, la matriz A’ también es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A')=2

Por lo tanto, como el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ pero estos dos son más pequeños que el número de incógnitas del sistema (3), sabemos por el teorema de Rouché-Frobenius que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3    \end{array}} \\ \\  \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3  \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Como es un SCI, tenemos que transformar el sistema para resolverlo. Para ello, primero debemos eliminar una ecuación del sistema, en este caso quitaremos la última ecuación:

\begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x+2z = 4} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases}  x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0\end{cases}

Ahora convertimos la variable z en λ:

\begin{cases}  x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0  \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} x+y+2\lambda= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2\lambda=0\end{cases}

Y ponemos los términos con λ junto con los términos independientes:

\begin{cases}x+y=2-2\lambda \\[1.5ex] -x+2y=-2\lambda \end{cases}

Por tanto, la matriz A y la matriz A’ del sistema quedan:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1  \\[1.1ex] -1 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] -1 & 2 & -2\lambda \end{array} \right)

Finalmente, una vez hemos transformado el sistema, aplicamos la regla de Cramer. Para ello, primero resolvemos el determinante de A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1  \\[1.1ex] -1 & 2\end{vmatrix} =2-(-1)=3

Para calcular  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 -2\lambda & 1  \\[1.1ex] -2\lambda & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{4-4\lambda-(-2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{4-2\lambda} }{\bm{3}}

Para calcular  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

  \displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2 -2\lambda  \\[1.1ex] -1 & -2\lambda  \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-2\lambda -(-2+2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{2-4\lambda} }{\bm{3}}

De modo que cuando m=2 la solución del sistema de ecuaciones queda en función de λ, ya que es un SCI y por tanto tiene infinitas soluciones:

 \displaystyle  \bm{x =}  \cfrac{\bm{4-2\lambda}}{\bm{3}}  \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{2-4\lambda}}{\bm{3}} \qquad \bm{z = \lambda}

Ya hemos analizado la solución del sistema cuando el parámetro  m es diferente de 2 y de 3, y cuando es igual a 2. Así que ahora solo nos falta el último caso: cuando  m coge el valor de 3:

 

m=3:

Ahora vamos a analizar qué pasa cuando el parámetro  m es 3. En este caso las matrices A y A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 & 4 \end{array} \right)

Como hemos visto antes, cuando m=3 el determinante de A es 0. Por lo que la matriz A no es de rango 3. Pero dentro tiene determinantes 2×2 diferentes de 0, por ejemplo:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3  \end{vmatrix} = 3 - (-1)=4 \neq 0

Por tanto, en este caso el rango de A es 2:

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de la matriz A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas da 0, así que probamos con otro determinante 3×3 que esté dentro de la matriz A’, por ejemplo el de las 3 últimas columnas:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 4\end{vmatrix} = 2

En cambio, la matriz A’ sí que contiene un determinante cuyo resultado es diferente de 0, de modo que la matriz A’ es de rango 3:

 \displaystyle  rg(A')=3

Por lo tanto, cuando m=3 el rango de la matriz A es más pequeño que el rango de la matriz A’. Así que, a partir del teorema de Rouché-Frobenius, deducimos que el sistema es un Sistema Incompatible (SI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3    \end{array}} \\ \\  \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Por tanto, el sistema de ecuaciones no tiene solución cuando m=3.

Resumen del ejemplo:

Como hemos visto, la solución del sistema de ecuaciones depende del valor del parámetro m . Este es el resumen de todos los casos posibles:

  • m≠3 y m≠2:

 \displaystyle \bm{SCD} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] y =\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] z = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6} \end{cases}

  • m=2:

 \displaystyle \bm{SCI} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{4-2\lambda}{3} \\[3.5ex] y= \cfrac{2-4\lambda}{3} \\[3.5ex] z = \lambda \end{cases}

  • m=3:

 \displaystyle \bm{SI} \longrightarrow  El sistema no tiene solución.

 

Aquí hemos hecho todo el proceso mediante el teorema de Rouché y la regla de Cramer, pero también se puede discutir y resolver los sistemas de ecuaciones con parámetros a través del metodo de Gauss ejercicios.

 

Ejercicios resueltos de discusión de sistemas de ecuaciones lineales con parámetros

Ejercicio 1

Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de parámetros:

resolución de ejercicio de sistema de ecuaciones lineales con parámetros

En primer lugar, hacemos es la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)

Ahora tenemos que hallar el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determinante de toda la matriz es diferente de 0:

 \displaystyle  \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{vmatrix} & =-4m+9-2-3-24-m \\ & =-5m-20 \end{aligned}

El resultado del determinante de A depende del valor de   m . Por tanto, vamos a ver por qué valores de   m se anula el determinante. Para ello, igualamos el resultado obtenido a 0 y resolvemos la ecuación:

 -5m-20 = 0

 -5m = 20

 m = \cfrac{20}{-5} = -4

Por lo tanto, cuando   m valga -4, el determinante de A será 0. Y cuando   m sea diferente de -4 el determinante de A será distinto de 0. De modo que debemos analizar cada caso por separado:

m≠-4:

Como acabamos de ver, cuando el parámetro   m es diferente de -4, el determinante de la matriz A es distinto de 0. Por tanto, el rango de A es 3.

 \displaystyle  rg(A)=3

Además, el rango de la matriz A’ es 3 también, porque en su interior hay una submatriz 3×3 cuyo determinante es diferente de 0. Y no puede ser de rango 4 ya que no podemos hacer ningún determinante 4×4.

 \displaystyle  rg(A')=3

Por tanto, aplicando el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD), porque el rango de A es igual al rango de A’ y al número de incógnitas.

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}

Una vez sabemos que el sistema es un SCD, aplicamos la regla de Cramer para resolverlo. Para ello recuerda que la matriz A, su determinante y la matriz A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1  \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1  \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m\end{vmatrix} =-5m-20

Para calcular  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1  \\[1.1ex] 0 & 1 & -3 \\[1.1ex] 0 & -2 & -m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1  \\[1.1ex] 1 & 0 & -3 \\[1.1ex] 3 & 0 & -m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}

Para calcular  \displaystyle  z con la regla de Cramer, cambiamos la tercera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}4 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones para el caso m≠-4 es:

 \displaystyle  \bm{x = 0 \qquad y=0 \qquad z = 0}

m=-4:

Ahora vamos a analizar el sistema cuando el parámetro  \displaystyle  m es -4. En este caso las matrices A y A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 & 0\end{array} \right)

Como hemos visto antes, cuando m=-4 el determinante de A es 0. Por lo que la matriz A no es de rango 3. Pero dentro tiene determinantes 2×2 diferentes de 0, por ejemplo:

 \displaystyle   \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0

Como la matriz tiene un determinante de orden 2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, así que probamos con los otros determinantes 3×3 posibles:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \\[1.1ex]  -2 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 &  -3 & 0 \\[1.1ex] 3 &  4 & 0  \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & -1 &  0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 &  0\end{vmatrix} = 0

Todos los determinantes 3×3 de la matriz A’ son 0, por tanto, la matriz A’ tampoco será de rango 3. Sin embargo, dentro sí que tiene determinantes de orden 2 diferentes de 0. Por ejemplo:

 \displaystyle   \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0

Así que la matriz A’ será de rango 2:

 \displaystyle  rg(A')=2

El rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ pero estos dos son más pequeños que el número de incógnitas del sistema (3), por tanto, según el teorema de Rouché-Frobenius se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Es un sistema SCI, por lo que tenemos que transformar el sistema para resolverlo. Primero eliminamos una ecuación, que en este caso será la última:

\begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x-2y+4z = 0} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0\end{cases}

Ahora convertimos la variable  z  en  \lambda :

\begin{cases}4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 4x-y+\lambda= 0 \\[1.5ex] x+y-3\lambda=0\end{cases}

Y ponemos los términos con  \lambda junto con los términos independientes:

\begin{cases} 4x-y=-\lambda \\[1.5ex] x+y=3\lambda \end{cases}

De manera que la matriz A y la matriz A’ del sistema quedan:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 4 & -1 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 1 & 3\lambda \end{array} \right)

Finalmente, una vez hemos transformado el sistema, aplicamos la regla de Cramer. Para ello, primero resolvemos el determinante de A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} = 4-(-1)=5

Para calcular  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix}-\lambda & -1 \\[1.1ex] 3\lambda & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-\lambda-(-3\lambda)}{5} =\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 3\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{12\lambda-(-\lambda)}{5}=\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}}

De modo que cuando m=-4 la solución del sistema de ecuaciones queda en función de λ, ya que es un SCI y por tanto tiene infinitas soluciones:

 \displaystyle  \bm{x =}\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}\qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}} \qquad \bm{z=\lambda}

 

Ejercicio 2

Discute y halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de parámetros:

ejercicio resuelto de sistema de ecuaciones lineales dependiente de parámetros

Lo primero que debemos hacer es la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}m & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & m & 3\end{array} \right)

Ahora tenemos que hallar el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determinante de toda la matriz es diferente de 0:

 \displaystyle  \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix} & =4m^2+4-4-4+4m-4m \\ & =4m^2-4 \end{aligned}

El resultado del determinante de A depende del valor de   m . Por tanto, vamos a ver por qué valores de   m se anula el determinante. Para ello, igualamos el resultado obtenido a 0 y resolvemos la ecuación:

 4m^2-4 = 0

 4m^2=4

 m^2 = \cfrac{4}{4}

 m^2 = 1

 m = \pm 1

Por lo tanto, cuando   m valga +1 o -1, el determinante de A será 0. Y cuando   m sea diferente de +1 y de -1, el determinante de A será distinto de 0. De modo que debemos analizar cada caso por separado:

m≠+1 y m≠-1:

Como acabamos de ver, cuando el parámetro   m es diferente de +1 y -1, el determinante de la matriz A es distinto de 0. Por tanto, el rango de A es 3.

 \displaystyle  rg(A)=3

Además, el rango de la matriz A’ es 3 también, porque en su interior hay una submatriz 3×3 cuyo determinante es diferente de 0. Y no puede ser de rango 4 ya que no podemos hacer ningún determinante 4×4.

 \displaystyle  rg(A')=3

Por tanto, aplicando el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD), porque el rango de A es igual al rango de A’ y al número de incógnitas.

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}

Una vez sabemos que el sistema es un SCD, aplicamos la regla de Cramer para resolverlo. Para ello recuerda que la matriz A, su determinante y la matriz A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}m & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & m & 3\end{array} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix}=4m^2-4

Para calcular  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2& 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & -2 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 2 \\[1.1ex] 1 & 3 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}

Para calcular  \displaystyle  z con la regla de Cramer, cambiamos la tercera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}m & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones para el caso m≠+1 y m≠-1 es:

 \displaystyle  \bm{x = }\cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}\qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}

m=+1:

Ahora vamos a analizar el sistema cuando el parámetro  \displaystyle  m es 1. En este caso las matrices A y A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 & 3\end{array} \right)

Como hemos visto antes, cuando m=+1 el determinante de A es 0. Por lo que la matriz A no es de rango 3. Pero dentro tiene determinantes 2×2 diferentes de 0, por ejemplo:

 \displaystyle   \begin{vmatrix}2 & 4\\[1.1ex] 1 & -2 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0

Como la matriz tiene un determinante de orden 2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, así que ahora probamos, por ejemplo, con el determinante de las 3 últimas columnas:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 4 & 2 & 0 \\[1.1ex]  -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 16

En cambio, la matriz A’ sí que contiene un determinante 3×3 cuyo resultado es diferente de 0, de modo que la matriz A’ es de rango 3:

 \displaystyle  rg(A')=3

Por lo tanto, cuando m=+1 el rango de la matriz A es más pequeño que el rango de la matriz A’. Así que, a partir del teorema de Rouché-Frobenius, deducimos que el sistema es un Sistema Incompatible (SI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Por tanto, el sistema de ecuaciones no tiene solución cuando m=+1, ya que es un sistema Incompatible.

m=-1:

Ahora vamos a analizar el sistema cuando el parámetro  \displaystyle  m es -1. En este caso las matrices A y A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}-1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 & 3\end{array} \right)

Como hemos visto antes, cuando m=-1 el determinante de A es 0. Por lo que la matriz A no es de rango 3. Pero dentro tiene determinantes 2×2 diferentes de 0, por ejemplo:

 \displaystyle   \begin{vmatrix}-1 & 2\\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0

Como la matriz tiene un determinante de orden 2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, así que ahora probamos, por ejemplo, con el determinante de las columnas 1, 3 y 4:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 &  -1 & 3\end{vmatrix} = -20

En cambio, la matriz A’ sí que contiene un determinante 3×3 cuyo resultado es diferente de 0, de modo que la matriz A’ es de rango 3:

 \displaystyle  rg(A')=3

Por lo tanto, cuando m=-1 el rango de la matriz A es más pequeño que el rango de la matriz A’. Así que, a partir del teorema de Rouché-Frobenius, deducimos que el sistema es un Sistema Incompatible (SI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Por tanto, el sistema de ecuaciones no tiene solución cuando m=-1, ya que es un sistema Incompatible.

 

Ejercicio 3

Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales con parámetros de parámetros:

En primer lugar, hacemos es la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & m & 1\\[1.1ex] 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] m & 4 & 2\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}2 & m & 1 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 1 & -1 \\[1.1ex] m & 4 & 2 & 0\end{array} \right)

Ahora tenemos que hallar el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determinante de toda la matriz es diferente de 0 resolviéndolo con la regla de Sarrus:

 \displaystyle  \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2&m&1 \\[1.1ex] 3&-1&1\\[1.1ex]  m & 4 & 2 \end{vmatrix} & =-4+m^2+12+m-8-6m \\ & =m^2-5m \end{aligned}

El resultado del determinante de A depende del valor de   m . Por tanto, vamos a ver por qué valores de   m se anula el determinante. Para ello, igualamos el resultado obtenido a 0 y resolvemos la ecuación:

 m^2-5m = 0

Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta, así que extraemos factor común:

 \displaystyle m(m-5)=0

E igualamos cada término a 0:

 \displaystyle  m(m-5)=0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{m = 0} \\[2ex] m-5=0  \ \longrightarrow \ \bm{m=5}\end{cases}

Por lo tanto, cuando   m valga 0 o 5, el determinante de A será 0. Y cuando   m sea diferente de 0 y de 5 el determinante de A será distinto de 0. De modo que debemos analizar cada caso por separado:

m≠-0 y m≠5:

Como acabamos de ver, cuando el parámetro   m es diferente de 0 y de 5, el determinante de la matriz A es distinto de 0. Por tanto, el rango de A es 3.

 \displaystyle  rg(A)=3

Además, el rango de la matriz A’ es 3 también, porque en su interior hay una submatriz 3×3 cuyo determinante es diferente de 0. Y no puede ser de rango 4 ya que no podemos hacer ningún determinante 4×4.

 \displaystyle  rg(A')=3

Entonces, como el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ y al número de incógnitas del sistema (3), por el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}

Una vez sabemos que el sistema es un SCD, aplicamos la regla de Cramer para resolverlo. Para ello recuerda que la matriz A, su determinante y la matriz A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & m & 1\\[1.1ex] 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] m & 4 & 2\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}2 & m & 1 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 1 & -1 \\[1.1ex] m & 4 & 2 & 0\end{array} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & m & 1\\[1.1ex] 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] m & 4 & 2\end{vmatrix} =m^2-5m

Para calcular  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & m & 1\\[1.1ex] -1 & -1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 4 & 2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{2m-10}}{\bm{m^2-5m}}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\[1.1ex] 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] m & 0 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} =\cfrac{\bm{2m-10}}{\bm{m^2-5m}}

Para calcular  \displaystyle  z con la regla de Cramer, cambiamos la tercera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}2 & m & 1\\[1.1ex] 3 & -1 & -1 \\[1.1ex] m & 4 & 0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{-m^2+m+20}}{\bm{m^2-5m}}

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones para el caso m≠-4 es:

 \displaystyle  \bm{x =}\cfrac{\bm{2m-10}}{\bm{m^2-5m}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{2m-10}}{\bm{m^2-5m}} \qquad \bm{z =}\cfrac{\bm{-m^2+m+20}}{\bm{m^2-5m}}

m=5:

Ahora vamos a analizar el sistema cuando el parámetro  \displaystyle  m es 5. En este caso las matrices A y A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1\\[1.1ex] 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 5 & 4 & 2\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}2 & 5 & 1 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & 4 & 2 & 0\end{array} \right)

Como hemos visto antes, cuando m=5 el determinante de A es 0. Por lo que la matriz A no es de rango 3. Pero dentro tiene determinantes 2×2 diferentes de 0, por ejemplo:

 \displaystyle   \begin{vmatrix}2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} =-2-15=-17 \neq 0

Como la matriz tiene un determinante de orden 2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, así que probamos con los otros determinantes 3×3 posibles:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 5 & 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}2 & 1 & 1 \\[1.1ex] 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & 2 & 0\end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & -1 \\[1.1ex] 5 & 4 & 0\end{vmatrix} = 0

Todos los determinantes 3×3 de la matriz A’ son 0, por tanto, la matriz A’ tampoco será de rango 3. Sin embargo, dentro sí que contiene determinantes de orden 2 diferentes de 0. Por ejemplo:

 \displaystyle   \begin{vmatrix}2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} =-2-15=-17 \neq 0

Así que la matriz A’ será de rango 2:

 \displaystyle  rg(A')=2

El rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ pero estos dos son más pequeños que el número de incógnitas del sistema (3), por tanto, según el teorema de Rouché-Frobenius se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Es un sistema SCI, por lo que tenemos que transformar el sistema para resolverlo. Primero eliminamos una ecuación, que en este caso será la última:

\begin{cases} 2x+5y+z= 1 \\[1.5ex] 3x-y+z=-1 \\[1.5ex] \cancel{5x+4y+2z = 0}  \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 2x+5y+z= 1 \\[1.5ex] 3x-y+z=-1\end{cases}

Ahora convertimos la variable  z  en  \lambda :

\begin{cases}2x+5y+z= 1 \\[1.5ex] 3x-y+z=-1\end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 2x+5y+\lambda= 1 \\[1.5ex] 3x-y+\lambda=-1\end{cases}

Y ponemos los términos con  \lambda junto con los términos independientes:

\begin{cases}2x+5y=1-\lambda \\[1.5ex] 3x-y=-1-\lambda\end{cases}

De manera que la matriz A y la matriz A’ del sistema quedan:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 2 & 5 &1 -\lambda \\[1.1ex] 3 & -1 & -1-\lambda \end{array} \right)

Finalmente, una vez hemos transformado el sistema, aplicamos la regla de Cramer. Para ello, primero resolvemos el determinante de A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -2-15=-17

Para calcular  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 -\lambda & 5 \\[1.1ex] -1 -\lambda & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-1+\lambda-(-5-5\lambda)}{-17} =\cfrac{\bm{4+6\lambda}}{\bm{-17}}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 -\lambda \\[1.1ex] 3 & -1 -\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-2-2\lambda-(3-3\lambda)}{-17}=\cfrac{\bm{-5+\lambda}}{\bm{-17}}

De modo que cuando m=5 la solución del sistema de ecuaciones queda en función de λ, ya que es un SCI y por tanto tiene infinitas soluciones:

 \displaystyle  \bm{x =}\cfrac{\bm{4+6\lambda}}{\bm{-17}}\qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{-5+\lambda}}{\bm{-17}} \qquad \bm{z=\lambda}

m=0:

Ahora vamos a analizar el sistema cuando el parámetro  \displaystyle  m es 0. En este caso las matrices A y A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1\\[1.1ex] 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 4 & 2\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}2 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 0 & 4 & 2 & 0\end{array} \right)

Como hemos visto antes, cuando m=0 el determinante de A es 0. Por lo que la matriz A no es de rango 3. Pero dentro tiene determinantes 2×2 diferentes de 0, por ejemplo:

 \displaystyle   \begin{vmatrix}2 & 0\\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} =-2-0=-2 \neq 0

Como la matriz tiene un determinante de orden 2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, así que ahora probamos, por ejemplo, con el determinante de las 3 últimas columnas:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 0\end{vmatrix} = -10

En cambio, la matriz A’ sí que contiene un determinante 3×3 cuyo resultado es diferente de 0, de modo que la matriz A’ es de rango 3:

 \displaystyle  rg(A')=3

Por lo tanto, cuando m=0 el rango de la matriz A es más pequeño que el rango de la matriz A’. Así que, a partir del teorema de Rouché-Frobenius, deducimos que el sistema es un Sistema Incompatible (SI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Por tanto, el sistema de ecuaciones no tiene solución cuando m=0, ya que es un sistema Incompatible.

 

Ejercicio 4

Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales con parámetros de parámetros:

ejemplos de discusión de sistemas de ecuaciones lineales , ejercicios resueltos paso a paso

En primer lugar, debemos hacer la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & m \\[1.1ex] 1 & m & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}2 & 1 & m & m \\[1.1ex] 1 & m & 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 & m-1\end{array} \right)

Ahora tenemos que hallar el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determinante de toda la matriz es diferente de 0 resolviéndolo con la regla de Sarrus:

 \displaystyle  \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 1 & m \\[1.1ex] 1 & m & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & =2m+1+m-m^2-2-1 \\ & =-m^2+3m-2 \end{aligned}

El resultado del determinante de A depende del valor de   m . Por tanto, vamos a ver por qué valores de   m se anula el determinante. Para ello, igualamos el resultado obtenido a 0 y resolvemos la ecuación:

 -m^2+3m-2=0

Se trata de una ecuación de segundo grado, así que aplicamos su fórmula:

m =\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \cfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot (-1) \cdot (-2)}}{2\cdot (-1)} =

 \displaystyle=\cfrac{-3 \pm \sqrt{1}}{-2}=\cfrac{-3 \pm 1}{-2}=\begin{cases} \cfrac{-3 + 1}{-2}=\cfrac{-2}{-2}= \mathbf{1} \\[4ex] \cfrac{-3 - 1}{-2} = \cfrac{-4}{-2} = \mathbf{2} \end{cases}

Por lo tanto, cuando   m valga 1 o 2, el determinante de A será 0. Y cuando   m sea diferente de 1 y de 2 el determinante de A será diferente de 0. De modo que debemos analizar cada caso por separado:

m≠1 y m≠2:

Como acabamos de ver, cuando el parámetro   m es diferente de 1 y de 2, el determinante de la matriz A es distinto de 0. Por tanto, el rango de A es 3.

 \displaystyle  rg(A)=3

Además, el rango de la matriz A’ es 3 también, porque en su interior hay una submatriz 3×3 cuyo determinante es diferente de 0. Y no puede ser de rango 4 ya que no podemos hacer ningún determinante 4×4.

 \displaystyle  rg(A')=3

Entonces, como el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ y al número de incógnitas del sistema (3), por el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}

Una vez sabemos que el sistema es un SCD, aplicamos la regla de Cramer para resolverlo. Para ello recuerda que la matriz A, su determinante y la matriz A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & m \\[1.1ex] 1 & m & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}2 & 1 & m & m \\[1.1ex] 1 & m & 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 & m-1\end{array} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 & m \\[1.1ex] 1 & m & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1\end{vmatrix} =-m^2+3m-2

Para calcular  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix}m & 1 & m \\[1.1ex] 1 & m & 1 \\[1.1ex] m-1 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{-m^3+2m^2+m-2}}{\bm{-m^2+3m-2}}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & m & m \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & m-1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} =\cfrac{\bm{m^2-4m+4}}{\bm{-m^2+3m-2}}

Para calcular  \displaystyle  z con la regla de Cramer, cambiamos la tercera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}2 & 1 & m \\[1.1ex] 1 & m & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & m-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{m^2-2m}}{\bm{-m^2+3m-2}}

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones para el caso m≠1 y m≠2 es:

 \displaystyle  \bm{x =}\cfrac{\bm{-m^3+2m^2+m-2}}{\bm{-m^2+3m-2}}\qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{m^2-4m+4}}{\bm{-m^2+3m-2}} \qquad \bm{z =}\cfrac{\bm{m^2-2m}}{\bm{-m^2+3m-2}}

m=2:

Ahora vamos a analizar el sistema cuando el parámetro  \displaystyle  m es 2. En este caso las matrices A y A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}2 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 1 & 2 & 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 & 1\end{array} \right)

Como hemos visto antes, cuando m=2 el determinante de A es 0. Por lo que la matriz A no es de rango 3. Pero dentro tiene determinantes 2×2 diferentes de 0, por ejemplo:

 \displaystyle   \begin{vmatrix}2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 2 \end{vmatrix} =4-1=3 \neq 0

Como la matriz tiene un determinante de orden 2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, así que probamos con los otros determinantes 3×3 posibles:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}2 & 2 & 2 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = 0

Todos los determinantes 3×3 de la matriz A’ son 0, por tanto, la matriz A’ tampoco será de rango 3. Sin embargo, dentro sí que tiene determinantes de orden 2 diferentes de 0. Por ejemplo:

 \displaystyle   \begin{vmatrix}2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 2 \end{vmatrix} =4-1=3 \neq 0

Así que la matriz A’ será de rango 2:

 \displaystyle  rg(A')=2

El rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ pero estos dos son más pequeños que el número de incógnitas del sistema (3), por tanto, según el teorema de Rouché-Frobenius se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Es un sistema SCI, por lo que tenemos que transformar el sistema para resolverlo. Primero eliminamos una ecuación, que en este caso será la última:

\begin{cases} 2x+y+2z=2 \\[1.5ex] x+2y+z=1 \\[1.5ex] \cancel{x+y+z = 1} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 2x+y+2z=2 \\[1.5ex] x+2y+z=1\end{cases}

Ahora convertimos la variable  z  en  \lambda :

\begin{cases}2x+y+2z=2 \\[1.5ex] x+2y+z=1\end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 2x+y+2\lambda=2 \\[1.5ex] x+2y+\lambda=1\end{cases}

Y ponemos los términos con  \lambda junto con los términos independientes:

\begin{cases}2x+y=2-2\lambda \\[1.5ex] x+2y=1-\lambda\end{cases}

De manera que la matriz A y la matriz A’ del sistema quedan:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 2 & 1 &2 -2\lambda \\[1.1ex] 1 & 2 & 1-\lambda \end{array} \right)

Finalmente, una vez hemos transformado el sistema, aplicamos la regla de Cramer. Para ello, primero resolvemos el determinante de A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 2 \end{vmatrix} = 4-1=3

Para calcular  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 -2\lambda & 1 \\[1.1ex] 1-\lambda & 2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{4-4\lambda-(1-\lambda)}{3} =\cfrac{3-3\lambda}{3} =\cfrac{1-1\lambda}{1}= \bm{1-\lambda}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] 1 & 1-\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{2-2\lambda-(2-2\lambda)}{3}=\cfrac{0}{3}= \bm{0}

De modo que cuando m=2 la solución del sistema de ecuaciones queda en función de λ, ya que es un SCI y por tanto tiene infinitas soluciones:

 \displaystyle  \bm{x =1-\lambda\qquad y=0 \qquad z=\lambda}

m=1:

Ahora vamos a analizar el sistema cuando el parámetro  \displaystyle  m es 1. En este caso las matrices A y A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1  & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}2 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 & 0\end{array} \right)

Como hemos visto antes, cuando m=1 el determinante de A es 0. Por lo que la matriz A no es de rango 3. Pero dentro tiene determinantes 2×2 diferentes de 0, por ejemplo:

 \displaystyle   \begin{vmatrix}2 & 1\\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =2-1=1 \neq 0

Como la matriz tiene un determinante de orden 2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, así que ahora probamos, por ejemplo, con el determinante de las columnas 1, 3 y 4:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0\end{vmatrix} = -1

En cambio, la matriz A’ sí que contiene un determinante 3×3 cuyo resultado es diferente de 0, de modo que la matriz A’ es de rango 3:

 \displaystyle  rg(A')=3

Por lo tanto, cuando m=1 el rango de la matriz A es más pequeño que el rango de la matriz A’. Así que, a partir del teorema de Rouché-Frobenius, deducimos que el sistema es un Sistema Incompatible (SI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Por tanto, el sistema de ecuaciones no tiene solución cuando m=1, ya que es un sistema Incompatible.

 

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