Definición de matriz y tipos de matrices

¿Qué es una matriz?

Una matriz de orden  m \times n es un conjunto de números dispuestos en  m  filas y  n columnas:

 A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)

Ejemplos de matrices:

 \displaystyle A =  \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix}  \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2  \\[1.1ex] 5 & 6  \end{pmatrix}  \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}

Dimensión de una matriz

La dimensión de una matriz es  \bm{m \times n} . Donde m  corresponde al número de filas de la matriz, y n  al número de columnas.

Ejemplos:

matriz de dimensión  2 \times 3:

  \displaystyle  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}

matriz de dimensión  2 \times 1 :

  \displaystyle  \begin{pmatrix} 5  \\[1.1ex] 2  \end{pmatrix}

Tipos de matrices

Matriz fila

Es aquella matriz que solo tiene 1 fila:

  \displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2  \end{pmatrix}

Matriz columna

Es aquella matriz que solo tiene 1 columna:

\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4   \end{pmatrix}

Matriz traspuesta

La matriz traspuesta o transpuesta es la matriz que se obtiene al cambiar las filas por columnas. Y se representa poniendo una «t» arriba a la derecha de la matriz  \left(A^t \right) .

Ejemplos:

  \displaystyle A=  \begin{pmatrix} 2 & 3  \\[1.1ex] -1 & 5    \end{pmatrix}  \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5  \end{pmatrix}

 \displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2   \end{pmatrix}  \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2   \end{pmatrix}

Matriz cuadrada

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas  (m=n ) .

Por ejemplo, una matriz cuadrada de orden 3 sería:

  \displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)

La diagonal principal de una matriz cuadrada son los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha:

diagonal principal de una matriz cuadrada

La diagonal secundaria de una matriz cuadrada son los elementos que van desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha:

diagonal secundaria de una matriz cuadrada

Matriz triangular

Una matriz triangular es aquella matriz en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son 0.

Matriz triangular superior:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

Matriz triangular inferior:

  \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no estén situados en la diagonal principal son ceros.

  \displaystyle  \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

  \displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}

Matriz identidad o unidad

La matriz identidad es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1.

  \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriz nula

Una matriz nula es una matriz en la que todos sus elementos son 0.

  \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Ahora que has visto los tipos de matrices, seguro que te estás preguntando… ¿y para qué sirve todo esto? Pues una de las principales aplicaciones son las operaciones de matrices, siendo la más importante de ellas la multiplicación, que también puedes ver cómo se hace en la página de matrices multiplicacion.

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