Matriz transpuesta (o traspuesta)

En esta página veremos cómo calcular la matriz transpuesta (o traspuesta). También verás ejercicios resueltos para que no te quede ninguna duda de cómo transponer una matriz.

¿Cómo calcular la matriz transpuesta (o traspuesta)?

La matriz transpuesta es la matriz que se obtiene al cambiar las filas por columnas. Y se representa poniendo una «t» arriba a la derecha de la matriz  \left(A^t \right) .

Por ejemplo, vamos a trasponer la siguiente matriz:

 \displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 4 & 5 & 0   \end{pmatrix}

Para trasponer la matriz A tan solo tenemos que cambiar las filas por las columnas. Es decir, la primera fila de la matriz pasa a ser la primera columna de la matriz, y la segunda fila de la matriz se convierte en la segunda columna de la matriz:

 \displaystyle A^t= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 0   \end{pmatrix}

A continuación tienes varios ejemplos resueltos de como hallar la matriz transpuesta:

Ejemplo 1:

 \displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5\\[1.1ex] 7 & 2  \end{pmatrix}

 \displaystyle B^t= \begin{pmatrix} 1 & 7\\[1.1ex] 5 & 2  \end{pmatrix}

 

Ejemplo 2:

 \displaystyle C= \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\[1.1ex] 5 & 3 & 2 \\[1.1ex] 6 & 0 & 9  \end{pmatrix}

 \displaystyle C^t= \begin{pmatrix} -1 & 5 & 6 \\[1.1ex] 4 & 3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 9  \end{pmatrix}

 

Ejemplo 3:

 \displaystyle D= \begin{pmatrix} 2 & 6 & -1 \end{pmatrix}

 \displaystyle D^t= \begin{pmatrix} -2 \\[1.1ex] 6 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}

 

Ejemplo 4:

 \displaystyle E= \begin{pmatrix} 9 & 0  \\[1.1ex] 2 & -1 \\[1.1ex] 5 & 3   \end{pmatrix}

 \displaystyle E^t= \begin{pmatrix} 9 & 2 & 5  \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}

 

Una de las utilidades de la transposición de matrices es calcular la matriz inversa con la formula de la matriz adjunta o por determinantes. Sin embargo, para poder utilizar este método también se necesita saber cómo resolver determinantes.

Propiedades de la matriz transpuesta

  • Propiedad Involutiva: La traspuesta de una matriz traspuesta es igual a la matriz original.

 \left(A^t\right)^t = A

 
  • Propiedad Distributiva: Sumar dos matrices y luego trasponer el resultado es lo mismo que trasponer primero cada matriz y luego sumarlas:

 \left(A+B\right)^t = A^t+B^t

 
  • Propiedad Lineal (producto de matrices): Multiplicar dos matrices y después trasponer el resultado es equivalente a transponer antes cada matriz y luego multiplicarlas pero alternando su orden de multiplicación:

 \left(A\cdot B\right)^t = B^t\cdot A^t

 
  • Propiedad Lineal (constante): Trasponer el resultado del producto de una matriz por una constante es igual a multiplicar la matriz ya traspuesta por la constante .

 \left(c\cdot A\right)^t = c\cdot A^t

 
  • Matriz simétrica: Si la traspuesta de una matriz es igual a la matriz sin trasponer, decimos que es una matriz simétrica:

\left.\begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5  \end{pmatrix} \right.^t = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5  \end{pmatrix}

 
  • Propiedad Antisimétrica: Si al transponer una matriz matematica obtenemos la misma matriz pero con todos los elementos cambiados de signo, se trata de una matriz antisimétrica:

 \left.\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 0 & 6 \\[1.1ex] -4 & -6 & 0  \end{pmatrix}\right.^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 0 & -6 \\[1.1ex] 4 & 6 & 0  \end{pmatrix}

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