Ecuaciones matriciales

En esta página aprenderás qué son y cómo resolver las ecuaciones matriciales. Además, encontrarás ejemplos y ejercicios resueltos de ecuaciones con matrices.

¿Qué son las ecuaciones matriciales?

Las ecuaciones matriciales son como ecuaciones normales, pero en vez de estar compuestas por números, están formadas por matrices. Por ejemplo:

 \displaystyle  AX=B

Por tanto, la solución X también será una matriz.

Como ya sabes, las matrices no se pueden dividir. Por tanto, NO se puede despejar la matriz X pasando a dividir al otro lado de la ecuación la matriz que le multiplicaba:

  \renewcommand{\CancelColor}{\color{red}}  \xcancel{X =\cfrac{B}{A}}

Sino que para despejar la matriz X hay que seguir todo un procedimiento. Así que vamos a ver cómo despejar ecuaciones matriciales con un ejercicio resuelto:

Cómo resolver ecuaciones matriciales. Ejemplo:

  • Resuelve la siguiente ecuación matricial:

 \displaystyle  AX+B = C

 \displaystyle  A =\begin{pmatrix}2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 5 \end{pmatrix} \qquad C =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 6 & -3\end{pmatrix}

Lo primero que debemos hacer es despejar la matriz X. Así que pasamos restando la matriz B al otro miembro de la ecuación:

 \displaystyle  AX+B = C

 \displaystyle  AX = C-B

Para acabar de despejar la matriz X, tenemos que pasar al otro miembro de la ecuación la matriz A. Sin embargo, no la podemos pasar dividiendo como siempre hacíamos en las ecuaciones normales, porque las matrices no se pueden dividir. Sino que debemos hacer lo siguiente:

Tenemos que multiplicar los dos miembros de la ecuación por la inversa de la matriz que esté multiplicando a la matriz X por el lado donde esté dicha matriz.

En este caso, la matriz que multiplica a X es A, y está a su izquierda. Por tanto, multiplicamos por la izquierda los dos miembros de la ecuación por la inversa de A (A-1):

 \displaystyle  AX = C-B

 \displaystyle  \definecolor{vermell}{HTML}{F44336} \color{vermell}\bm{A^{-1}} \color{black} \cdot AX =  \color{vermell}\bm{A^{-1}} \color{black}  \cdot (C-B)

Una matriz multiplicada por su inversa es igual a la matriz identidad. Por tanto  \bm{A^{-1} \cdot A = I }:

 \displaystyle  IX = A^{-1} \cdot (C-B)

Cualquier matriz multiplicada por la matriz identidad da como resultado la misma matriz. Por tanto:

 \displaystyle  X = A^{-1} \cdot (C-B)

Y de esta forma ya tenemos despejada X. Ahora tan solo hace falta hacer las operaciones de matrices. Así que primero calculamos la matriz inversa 2×2 de A:

 \displaystyle  A =\begin{pmatrix}2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 \end{pmatrix}

 \displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

Calculamos la adjunta de la matriz A:

  \displaystyle  A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}3 & -4 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{pmatrix}^{\bm{t}}

Una vez hallada la matriz adjunta, se procede a calcular la matriz transpuesta:

  \displaystyle  A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}3 & -1 \\[1.1ex] -4 & 2 \end{pmatrix}

 \displaystyle  A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1 \end{pmatrix}

Ahora sustituimos todas las matrices en la expresión para calcular X:

 \displaystyle  X = A^{-1} \cdot (C-B)

\displaystyle  X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} \vphantom{\frac{3}{2}} 2 & 1 \\[1.3ex] 6 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \vphantom{\frac{3}{2}}3 & -1 \\[1.3ex] 0 & 5 \end{pmatrix}\right)

Y procedemos a resolver las operaciones con matrices. Primero calculamos el paréntesis haciendo la resta de matrices:

 \displaystyle  X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] 6 & -8 \end{pmatrix}

Y, finalmente, multiplicamos las matrices:

\displaystyle  X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot (-1) + \left(-\frac{1}{2} \right) \cdot 6 & \frac{3}{2}\cdot 2 + \left(-\frac{1}{2} \right)\cdot (-8) \\[1.3ex] -2\cdot (-1)+1\cdot 6 & -2\cdot 2 +1\cdot (-8) \end{pmatrix}

\displaystyle  X = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} -\frac{6}{2} & 3 + 4 \\[1.3ex] 2+6 & -4-8 \end{pmatrix}

\displaystyle  \bm{X =} \begin{pmatrix} \bm{-} \frac{\bm{9}}{\bm{2}} & \bm{7} \\[1.3ex] \bm{8} & \bm{-12} \end{pmatrix}

 

Ejercicios resueltos de ecuaciones matriciales

Ejercicio 1

Siendo  \displaystyle A y  \displaystyle B las siguientes matrices cuadradas de dimensión 2×2:

 \displaystyle A =\begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}

Calcula la matriz  X  que verifica la siguiente ecuación matricial:

 \displaystyle AX=B

Primero tenemos que despejar la matriz  X  de la ecuación matricial:

  \displaystyle AX=B

 \displaystyle A^{-1} \cdot AX=A^{-1} \cdot B

 \displaystyle IX=A^{-1} \cdot B

 \displaystyle X=A^{-1} \cdot B

Una vez tenemos la matriz  X despejada, tan solo hace falta operar con las matrices. Así que primero calculamos la matriz inversa de A:

 \displaystyle  A =\begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}

 \displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

 \displaystyle  A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}

 \displaystyle  A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}

 \displaystyle  A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3\end{pmatrix}

Ahora sustituimos todas las matrices en la ecuación para calcular la matriz X :

 \displaystyle X=A^{-1} \cdot B

\displaystyle X= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}

Y, por último, hacemos la multiplicación de las matrices:

 \displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{ -1} & \bm{3} \\[1.1ex] \bm{-7} & \bm{7}\end{pmatrix}

 

Ejercicio 2

Siendo  \displaystyle A ,  \displaystyle B y  \displaystyle C las siguientes matrices de orden 2:

 \displaystyle A =\begin{pmatrix} 3 & 6 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix}\qquad C = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{pmatrix}

Calcula la matriz  X  que verifica la siguiente ecuación matricial:

 \displaystyle A+ XB=C

Lo primero que debemos hacer es despejar la matriz  X  de la ecuación de matrices:

  \displaystyle A+ XB=C

 \displaystyle  XB=C-A

 \displaystyle XB \cdot B^{-1}=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}

  \displaystyle XI=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}

  \displaystyle X = \left(C-A\right)\cdot B^{-1}

Una vez hemos aislado la matriz  X , debemos operar con las matrices. De modo que primero calculamos la matriz inversa de B:

 \displaystyle  B =\begin{pmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix}

 \displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{\vert B \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(B)\Bigr)^{\bm{t}}

 \displaystyle  B^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -3 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix}^{\bm{t}}

 \displaystyle  B^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -3 & -1 \\[1.1ex] -3 & -2 \end{pmatrix}

 \displaystyle  B^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}

Ahora sustituimos todas las matrices en la ecuación para calcular la matriz X :

 \displaystyle X=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}

 \displaystyle  X=\left(\begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.3ex] 3 & -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 6 \\[1.3ex] 2 & -1 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}

Resolvemos el paréntesis haciendo la resta de las matrices:

 \displaystyle X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.3ex] 1 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}

Y, finalmente, multiplicamos las matrices:

  \displaystyle X=\begin{pmatrix} -3+2 & -1+\frac{4}{3} \\[1.3ex] -1+1 & -\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \end{pmatrix}

  \displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{ -1} & \frac{\bm{1}}{\bm{3}} \\[1.3ex] \bm{0} & \frac{\bm{1}}{\bm{3}} \end{pmatrix}

 

Ejercicio 3

Siendo  \displaystyle A ,  \displaystyle B y  \displaystyle C las siguientes matrices de segundo orden:

  \displaystyle A =\begin{pmatrix} -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}\qquad C = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.1ex] 22 & 14 \end{pmatrix}

Halla la matriz  X  que cumple la siguiente ecuación matricial:

 \displaystyle AXB=C

Antes de nada, tenemos que despejar la matriz  X  de la ecuación de matrices:

  \displaystyle AXB=C

 \displaystyle A^{-1}\cdot AXB\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}

 \displastyle IXI=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}

 \displastyle X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}

Una vez hemos despejado la matriz  X , debemos operar con las matrices. De manera que primero calculamos la matriz inversa de A:

 \displaystyle  A =\begin{pmatrix} -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}

 \displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

 \displaystyle  A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] -1 & -1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}

 \displaystyle  A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] -1 & -1 \end{pmatrix}

 \displaystyle  A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{pmatrix}

E invertimos también la matriz B:

 \displaystyle  B =\begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}

 \displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{\vert B \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(B)\Bigr)^{\bm{t}}

 \displaystyle  B^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}^{\bm{t}}

 \displaystyle  B^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\[1.1ex] -1 & 4 \end{pmatrix}

 \displaystyle  B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}

Ahora sustituimos todas las matrices en la expresión para calcular la matriz X :

 \displaystyle X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}

 \displaystyle X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.3ex] 22 & 14 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}

Primero resolvemos la multiplicación de la izquierda

 \displaystyle X=\begin{pmatrix} 0+22 & 0+14 \\[1.3ex] 6+22 & 4+14 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}

 \displaystyle X=\begin{pmatrix} 22 & 14 \\[1.3ex] 28 & 18 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}

Y, finalmente, hacemos la multiplicación que queda:

  \displaystyle X=\begin{pmatrix} 0-7 & 22+28 \\[1.3ex] 0-9 & 28+36 \end{pmatrix}

  \displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{-7} & \bm{50} \\[1.3ex] \bm{-9} & \bm{64} \end{pmatrix}

 

Ejercicio 4

Siendo  \displaystyle A y  \displaystyle B las siguientes matrices de dimensión 3×3:

 \displaystyle A =\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}

Calcula la matriz  X  que cumple la siguiente ecuación matricial:

 \displaystyle B^{t}- AX=B

Primero despejamos la matriz  X  de la ecuación de matrices:

  \displaystyle B^t- AX=B

  \displaystyle B^t- B=AX

  \displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=A^{-1}\cdot AX

  \displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=IX

  \displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=X

  \displaystyle X=A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)

Una vez hemos aislado la matriz  X , debemos operar con las matrices. De manera que primero calculamos la matriz inversa de A:

 \displaystyle  A =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}

 \displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

 \displaystyle  A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\  1 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}  0 & -1  \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\[4ex] -\begin{vmatrix}  0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1  & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2  \end{vmatrix} \\[4ex] \begin{vmatrix} 0 & 1\\  -1 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1  & 1\\ 0 & 0  \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \end{pmatrix}^{\bm{t}}

 \displaystyle  A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -2 \\[1.1ex] 1  & 0 & -1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}

 \displaystyle  A^{-1} = -1 \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1  & -2 & -1 \end{pmatrix}

 \displaystyle  A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1  & 2 & 1 \end{pmatrix}

Ahora sustituimos todas las matrices en la expresión para calcular X:

  \displaystyle X=A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)

  \displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1  & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}^t- \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \right)

Trasponemos la matriz B:

  \displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1  & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \right)

Resolvemos el paréntesis haciendo la resta de matrices:

  \displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1  & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 3 & -3 \\[1.1ex] -3 & 0 & 3 \\[1.1ex] 3 & -3 & 0 \end{pmatrix}

Y, por último, hacemos la multiplicación de matrices:

  \displaystyle \bm{X=}\begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{9} & \bm{-12} \\[1.1ex] \bm{3} & \bm{0} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-3}  & \bm{-6} & \bm{9} \end{pmatrix}

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