Matrices

¿Qué son las matrices?

Una matriz de dimensión  m \times n es un conjunto de números dispuestos en  m  filas y  n columnas:

 A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)

Ejemplos:

A =  \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix}  \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2  \\[1.1ex] 5 & 6  \end{pmatrix}  \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}

 

Matriz transpuesta (o traspuesta)

La matriz transpuesta (o traspuesta) es la matriz matematica que se obtiene al cambiar las filas por las columnas. Y se representa poniendo una «t» arriba a la derecha de la matriz  \left(A^t \right) .

Por ejemplo, vamos a trasponer la siguiente matriz:

 \displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 4 & 5 & 0   \end{pmatrix}

Para transponer la matriz A tan solo tenemos que cambiar las filas por las columnas. Es decir, la primera fila de la matriz pasa a ser la primera columna de la matriz, y la segunda fila de la matriz se convierte en la segunda columna de la matriz:

 \displaystyle A^t= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 0   \end{pmatrix}

Como ves, trasponer una matriz es como girarla.

 

Operaciones con matrices

En este apartado veremos todas las operaciones de matrices posibles: la suma y la resta, la multiplicación y la potencia de una matriz.

Suma y resta de matrices

Para sumar (o restar) dos matrices se tienen que sumar (o restar) los elementos que ocupan la misma posición.

Ejemplos:

    \definecolor{blauquadreejemplo}{HTML}{42A5F5}  \newtcbox{\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=blauquadreejemplo,      boxrule=0.9pt, boxsep=2mm,     #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2.5mm}{-2.5mm}{0mm}{blauquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \displaystyle \begin{array}{c} \\ A =  \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] -3 & 6 \end{pmatrix}  \qquad B =\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 \end{pmatrix} \\[7ex]  A + B= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] -3 & 6 \end{pmatrix}  +  \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+1 & 1+3  \\[1.1ex] -3+4 & 6+(-1) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{4}  \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{5} \end{pmatrix} \\[7ex]   A - B= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] -3 & 6 \end{pmatrix}  -  \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & 1-3  \\[1.1ex] -3-4 & 6-(-1) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{-2}  \\[1.1ex] \bm{-7} & \bm{7} \end{pmatrix} \\ & \end{array} \end{empheq}

Fíjate que para poder sumar o restar dos matrices, estas deben tener la misma dimensión. Por ejemplo, las siguientes matrices no se pueden sumar porque la primera es una matriz de dimensión 2×2 y la segunda es una matriz de dimensión 3×2:

  \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{pmatrix}  + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\[1.1ex] -2 & 4 \\[1.1ex] 7 & 1 \end{pmatrix} \ \longleftarrow \ \color{red}  \bm{\times}}

 

Multiplicación de un número por una matriz

Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica cada elemento de la matriz por el número.

Ejemplo:

    \definecolor{blauquadreejemplo}{HTML}{42A5F5}  \newtcbox{\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=blauquadreejemplo,      boxrule=0.9pt, boxsep=1.5mm,     #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={1.3mm}{-1.3mm}{0mm}{blauquadreejemplo!20!white,}]}]{equation*}        2  \begin{pmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] -3 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \cdot 4 & 2 \cdot 1 \\[1.1ex] 2 \cdot (-3) & 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{8} & \bm{2} \\[1.1ex] \bm{-6} & \bm{4} \end{pmatrix}  \end{empheq}

 

Multiplicación de matrices

Vamos a ver el procedimiento de cómo multiplicar dos matrices con un ejemplo:

ejemplo de multiplicación de matrices, ejercicio resuelto

En una multiplicación de matrices se multiplican las filas de la matriz de la izquierda por las columnas de la matriz de la derecha.

Por tanto, primero tenemos que multiplicar la primera fila por la primera columna. Para ello, multiplicamos uno a uno cada elemento de la primera fila por cada elemento de la primera columna, y sumamos los resultados. De manera que todo esto será el primer elemento de la primera fila de la matriz resultante. Fíjate en el procedimiento:

cómo multiplicar matrices, paso 1

13 + 24 = 3 + 8 = 11. Por tanto:

resolver una multiplicación de matrices 2x2

Ahora nos toca multiplicar la primera fila por la segunda columna. Así que repetimos el procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la primera fila por cada elemento de la segunda columna, y sumamos los resultados. Y todo esto será el segundo elemento de la primera fila de la matriz resultante:

cómo hacer una multiplicación de matrices de dimensión 2

15 + 21 = 5 + 2 = 7. Por tanto:

procedimiento de cómo multiplicar dos matrices de orden 2

Una vez tenemos la primera fila de la matriz resultante llena, pasamos a la segunda fila. Así que multiplicamos la segunda fila por la primera columna repitiendo el procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la segunda fila por cada elemento de la primera columna, y sumamos los resultados:

multiplicar matrices online

-33 + 04 = -9 + 0 = -9. Por tanto:

producto de matrices 2x2

Por último, multiplicamos la segunda fila por la segunda columna. Siempre con el mismo procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la segunda fila por cada elemento de la segunda columna, y sumamos los resultados:

cómo resolver el producto de dos matrices 2x2

-35 + 01 = -15 + 0 = -15. Por tanto:

ejercicio resuelto de multiplicación de matrices 2x2

Y aquí termina la multiplicación de las matrices. Como has visto, se tienen que multiplicar las filas por las columnas repitiendo siempre el mismo procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la fila por cada elemento de la columna, y sumamos los resultados.

 

Potencia de una matriz

Para calcular la potencia de una matriz, debemos multiplicar la matriz por ella misma tantas veces como diga el exponente. Por ejemplo:

 A^4 = A \cdot A \cdot A \cdot A

Ejemplo:

    \definecolor{blauquadreejemplo}{HTML}{42A5F5}  \newtcbox{\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=blauquadreejemplo,      boxrule=0.9pt, boxsep=2mm,     #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2.5mm}{-2.5mm}{0mm}{blauquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \displaystyle \begin{array}{c} A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \\[6ex]  A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1  \\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \\[6ex]   A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1  \\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix} \\[6ex]  A^4=A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix} \\[4ex]  \bm{\vdots}  \end{array} \end{empheq}

Hay una propiedad importante de las potencias de matrices: solo se puede calcular la potencia de una matriz cuando la matriz es cuadrada, es decir, cuando tiene el mismo número de filas que de columnas.

 

Matriz inversa

Sea  \displaystyle A una matriz cuadrada. La matriz inversa de  \displaystyle A se escribe  \displaystyle A^{-1} , y es aquella matriz que cumple:

 A \cdot A^{-1} = I

 A^{-1}\cdot A  = I

También es importante saber que si el determinante de una matriz es 0, la matriz no tiene inversa. Es decir, la matriz no es invertible. En este caso decimos que se trata de una matriz singular.

Matriz inversa por el método de los determinantes (o por la matriz adjunta)

Para calcular la inversa de una matriz,  \displaystyle A^{-1} , hay que aplicar la siguiente fórmula:

 \displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

Donde:

  •  \displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}  es el determinante de la matriz A
  • \text{Adj}(A)  es la matriz adjunta de A
  • El exponente \bm{t} indica la transposición de la matriz, es decir, se tiene que transponer la matriz adjunta.

Ejemplo:

  • Calcula la inversa de la siguiente matriz:

 \displaystyle  A = \begin{pmatrix} 4 & -2  \\[1.1ex] 3 & -1  \end{pmatrix}

 \displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

 \displaystyle  \lvert A \rvert  = \begin{vmatrix}  4 & -2  \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -4- (-6) = 2

Recuerda que para calcular el adjunto de   a_{ij} , es decir, del elemento de la fila   i y de la columna   j , hay que aplicar la siguiente fórmula:

 \text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

Donde el menor complementario de   a_{ij} es el determinante de la matriz eliminando la fila   i y la columna   j .

Por tanto, los adjuntos de los elementos de la matriz A son:

 \displaystyle  A = \begin{pmatrix} 4 & -2  \\[1.1ex] 3 & -1  \end{pmatrix}

 \text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) = \bm{-1}

 \text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}

 \text{Adjunto de 3}  =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}

 \text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}

Una vez hemos hallado los adjuntos, tan solo tenemos que sustituir los elementos de la matriz A por sus adjuntos para hallar la matriz adjunta de A:

 \displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3  \\[1.1ex] 2 & 4  \end{pmatrix}

Por tanto, sustituimos los valores del determinante y de la matriz adjunta en la fórmula de la matriz inversa:

 \displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

 \displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3  \\[1.1ex] 2 & 4  \end{pmatrix} ^{\bm{t}}

Trasponemos la matriz adjunta:

 \displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2  \\[1.1ex] -3 & 4  \end{pmatrix}

Y por último operamos:

   \displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{2}{2}  \\[1.1ex] \sfrac{-3}{2} & \sfrac{4}{2}  \end{pmatrix}

   \displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \sfrac{\bm{-1}}{\bm{2}} & \bm{1}  \\[1.1ex] \sfrac{\bm{-3}}{\bm{2}} & \bm{2}  \end{pmatrix}

 

Rango de una matriz

El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante es diferente de 0.

Ejemplo:

  • Calcula el rango de la siguiente matriz de dimensión 3×4:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1  \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)

Siempre empezaremos mirando si la matriz es de rango máximo resolviendo el determinante de orden más grande. Y, si el determinante de ese orden es igual a 0, iremos probando determinantes de orden menor hasta encontrar uno que sea distinto de 0.

En este caso, se trata de una matriz de dimensión 3×4. Por tanto, como máximo será de rango 3, ya que no podemos hacer ningún determinante de orden 4. Así que cogemos cualquier submatriz 3×3 y miramos si su determinante es 0. Por ejemplo, resolvemos el determinante de las 3 primeras columnas mediante la regla de Sarrus:

    \left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4  & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2                    \end{tabular} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1   \\[1.1ex] 3 & -1 & 7  \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}

El determinante de las tres primeras columnas da 0. Así que ahora tenemos que probar con otro determinante, por ejemplo el de las columnas 1, 2 y 4:

     \left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4  & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2                    \end{tabular} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1   \\[1.1ex] 3 & -1 & 2  \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}

Este determinante también vale 0. Así que seguimos probando determinantes de orden 3 para ver si hay alguno distinto de 0. Calculamos ahora el determinante formado por las columnas 1, 3 y 4:

    \left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4  & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &  &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &  -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2                    \end{tabular} \right)

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1   \\[1.1ex] 3 & 7 & 2  \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}

De determinantes de orden 3 solo nos queda por intentar el que está formado por las columnas 2, 3 y 4:

    \left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4  & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\  & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\  & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2                    \end{tabular} \right)

 \displaystyle   \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex]  2 & 1 & -1  \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}

Ya hemos probado todos los determinantes 3×3 posibles de la matriz A, y como ninguno de esos es diferente de 0, la matriz no es de rango 3. Por tanto, como máximo, será de rango 2.

 \displaystyle  rg(A) < 3

Ahora vamos a ver si la matriz es de rango 2. Para ello, tenemos que encontrar una submatriz cuadrada de orden 2 cuyo determinante sea diferente de 0. Probaremos con la submatriz 2×2 de la esquina superior izquierda:

    \left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4  & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 &  1 & -1 &  & & \\[-2ex] 3 & -1 &  7 & 2                    \end{tabular} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2  \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}

Hemos hallado un determinante 2×2 diferente de 0 dentro de la matriz. Por lo tanto, la matriz es de rango 2:

 \displaystyle  \bm{rg(A)=2}

 

Tipos de matrices

Matriz fila

  \displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2  \end{pmatrix}

Matriz columna

\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4   \end{pmatrix}

Matriz cuadrada

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas  (m=n ) .

Por ejemplo, una matriz cuadrada de dimensión 3×3 sería:

  \displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)

La diagonal principal de una matriz cuadrada son los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha:

La diagonal secundaria de una matriz cuadrada son los elementos que van desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha:

Matriz triangular

Una matriz triangular es aquella matriz en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son 0.

Matriz triangular superior:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

Matriz triangular inferior:

  \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no estén situados en la diagonal principal son ceros.

  \displaystyle  \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

  \displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}

Matriz identidad o unidad

La matriz identidad es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1.

  \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriz nula

Una matriz nula es una matriz en la que todos sus elementos son 0.

  \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

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