Rango de una matriz en función de un parámetro

En esta página verás cómo calcular el rango de una matriz en función de un parámetro. Además encontrarás ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso de cómo hallar el rango de una matriz en función de un parámetro.

Para entender bien el procedimiento de cómo estudiar el rango de matrices con parámetros, es importante que primero ya sepas como calcular el determinante de una matriz y también como calcular el rango de una matriz por determinantes. Así que te recomendamos que primero aprendas estas dos cosas antes de continuar leyendo.

Cómo calcular el rango de una matriz en función de un parámetro. Ejemplo:

  • Determina el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro  \displaystyle  a :

 \displaystyle  A= \begin{pmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0   \\[1.1ex] 1 & -2 & a  \end{pmatrix}

La matriz A será como máximo de rango 3, porque es una matriz de orden 3. Por tanto, lo primero que debemos hacer es resolver el determinante de toda la matriz 3×3 con la regla de Sarrus, para ver si puede ser de rango 3:

 \displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0   \\[1.1ex] 1 & -2 & a  \end{vmatrix} & =-a(a+1)+0+0+a+1-0-0 \\ & =-a^2-a+a+1  \\[1.5ex] & =-a^2+1 \end{aligned}

El resultado del determinante está en función del parámetro  \displaystyle  a. Así que igualamos el resultado a 0 para ver cuándo la matriz será de rango 2 y cuándo de rango 3:

 \displaystyle -a^2+1 = 0

Y resolvemos la ecuación resultante:

 \displaystyle  a^2 = 1

 \displaystyle  \sqrt{a^2} = \sqrt{1}

 \displaystyle  \bm{a = \pm 1}

Por lo tanto, cuando  \displaystyle  a sea +1 o -1, el determinante 3×3 será 0 y, en consecuencia, el rango de la matriz no será 3. En cambio, cuando  \displaystyle  a sea diferente de +1 y -1, el determinante será diferente de 0 y, en consecuencia, la matriz será de rango 3.

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c}  \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Ahora vamos a ver qué sucede cuando  \displaystyle  \bm{a=+1} :

 \displaystyle  a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0   \\[1.1ex] 1 & -2 & 1  \end{pmatrix}

Como hemos visto antes, cuando  \displaystyle  a es 1 el determinante de la matriz es 0. Por tanto, no puede ser de rango 3. Intentamos ahora calcular algún determinante 2×2 que sea diferente de 0 dentro de la matriz, por ejemplo el de la esquina superior izquierda:

 \displaystyle   \begin{vmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{vmatrix} =-2-0= -2 \neq 0

El determinante de orden 2 es diferente de 0. Por tanto, cuando el parámetro  \displaystyle  a sea +1, el rango de la matriz será 2:

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c}  \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Una vez hemos visto el rango de la matriz cuando  \displaystyle  a \neq +1,-1 y cuando  \displaystyle  a=+1, vamos a ver qué pasa cuando  \displaystyle  \bm{a = -1} :

 \displaystyle  a = -1 \longrightarrow A=  \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0   \\[1.1ex] 1 & -2 & -1  \end{pmatrix}

Como hemos visto al principio, cuando  \displaystyle  a es -1 el determinante de la matriz es 0. Por tanto, no puede ser de rango 3. Así que ahora tenemos que intentar encontrar algún determinante 2×2 dentro de la matriz que sea diferente de 0, por ejemplo el de la esquina inferior izquierda:

 \displaystyle   \begin{vmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & -2  \end{vmatrix} = 0-(-1)= 1\neq 0

El determinante de dimensión 2 es diferente de 0. Por tanto, cuando el parámetro  \displaystyle  a sea -1, el rango de la matriz será 2:

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

De manera que hemos encontrado 3 diferentes casos en los que el rango de la matriz A es dependiente del valor que toma el parámetro  \displaystyle  a. Este es el resumen:

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex]  \color{black} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }

 

Ahora que ya sabes cómo discutir el rango de matrices dependientes de parámetros, puedes practicar de hacer los ejercicios resueltos paso a paso que hay a continuación. Para solucionarlos seguro que te son de ayuda las propiedades de los determinantes.

 

Ejercicios resueltos de rango de una matriz en función de un parámetro

Ejercicio 1

Estudia el rango de la siguiente matriz según el valor del parámetro \displaystyle  a :

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}

La matriz A será como máximo de rango 3, porque es una matriz de dimensión 3×3. Por tanto, lo primero que debemos hacer es resolver el determinante de toda la matriz (con la regla de Sarrus), para ver si puede ser de rango 3:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}  =0-8+2a-4a+12-0 =-2a+4

Igualamos el resultado a 0 para ver cuándo la matriz será de rango 2 y cuándo de rango 3:

 \displaystyle -2a+4=0

 \displaystyle -2a=-4

 \displaystyle a=\cfrac{-4}{-2} = 2

Por tanto, cuando  \displaystyle  a sea diferente de 2, el determinante 3×3 será diferente de 0 y, en consecuencia, el rango de la matriz será 3.

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Ahora vamos a ver qué sucede cuando  \displaystyle  a=2 :

 \displaystyle  a = 2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}

 \displaystyle  \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}= 0

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 3 & 1  \\[1.1ex] 2 & 2 \end{vmatrix} = 6-2 = 4 \neq 0

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

De manera que hemos encontrado 2 casos en los que el rango de la matriz A varia en con el valor que toma el parámetro:

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 2 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 2\ \longrightarrow \ Rg(A)=2}  \\ & \end{array} }

 

Ejercicio 2

Halla el rango de la siguiente matriz según el valor del parámetro \displaystyle  a :

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{pmatrix}

La matriz A será como máximo de rango 3, porque es una matriz de dimensión 3×3. Por tanto, lo primero que debemos hacer es resolver el determinante de toda la matriz (con la regla de Sarrus), para ver si puede ser de rango 3:

 \displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{vmatrix} & =2a-12-2a+2+12-2a^2 \\ &=2-2a^2\end{aligned}

Igualamos el resultado a 0 para ver cuándo la matriz será de rango 2 y cuándo de rango 3:

 \displaystyle 2-2a^2=0

 \displaystyle -2a^2=-2

 \displaystyle a^2=\cfrac{-2}{-2}

 \displaystyle a^2=1

 \displaystyle a=\pm 1

Por tanto, cuando  \displaystyle  a sea diferente de +1 y -1, el determinante 3×3 será diferente de 0 y, en consecuencia, el rango de la matriz será 3.

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1, -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Ahora vamos a ver qué sucede cuando  \displaystyle  a=+1 :

 \displaystyle  a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

 \displaystyle  \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{vmatrix}= 0

 \displaystyle  \begin{vmatrix}  2 & 1 \\[1.1ex]  1 & 3 \end{vmatrix} = 6-1 = 5 \neq 0

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Ahora vamos a ver qué sucede cuando  \displaystyle  a=-1 :

 \displaystyle  a = -1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}

 \displaystyle  \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1  \end{vmatrix}= 0

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 2 & 2  \\[1.1ex] -1 & 1 \end{vmatrix} =2-(-2) = 4 \neq 0

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

De modo que hemos encontrado 3 casos en los que el rango de la matriz A varia en según el valor que toma el parámetro:

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2}  \\ & \end{array} }

 

Ejercicio 3

Calcula el rango de la siguiente matriz según el valor del parámetro \displaystyle  a :

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3  \end{pmatrix}

La matriz A será como máximo de rango 3, porque es una matriz de dimensión 3×3. Por tanto, lo primero que debemos hacer es resolver el determinante de toda la matriz (con la regla de Sarrus), para ver si puede ser de rango 3:

 \displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3 \end{vmatrix} & =(a+1)(a-3) +2+0-5+6(a+1)-0 \\ & = a^2-3a+a-3 +2-5+6a+6 \\[1.5ex] & =a^2+4a\end{aligned}

Igualamos el resultado a 0 para ver cuándo la matriz será de rango 2 y cuándo de rango 3:

 \displaystyle a^2+4a=0

Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta, así que extraemos factor común:

 \displaystyle a(a+4)=0

Y igualamos cada término a 0:

 \displaystyle  a(a+4)=0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{a = 0} \\[2ex] a+4=0  \ \longrightarrow \ \bm{a=-4}\end{cases}

Hemos obtenido como soluciones 0 y -4. Por tanto, cuando  \displaystyle  a sea diferente de 0 y -4, el determinante 3×3 será diferente de 0 y, en consecuencia, el rango de la matriz será 3.

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 0, -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Ahora vamos a ver qué sucede cuando  \displaystyle  a=0 :

 \displaystyle  a = 0 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{pmatrix}

 \displaystyle  \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{vmatrix}= 0

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 1  \\[1.1ex] 0 & 1 \end{vmatrix} = 1-0 = 1 \neq 0

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 0 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Ahora vamos a ver qué pasa cuando  \displaystyle  a=-4 :

 \displaystyle  a = -4 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7  \end{pmatrix}

 \displaystyle  \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7 \end{vmatrix}= 0

 \displaystyle  \begin{vmatrix} -3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1\end{vmatrix} =-3-0 = -3 \neq 0

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

De manera que hemos encontrado 3 casos en los que el rango de la matriz A varia dependiendo del valor que toma el parámetro:

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 0,-4 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 0\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -4\ \longrightarrow \ Rg(A)=2}  \\ & \end{array} }

 

Ejercicio 4

Halla el rango de la siguiente matriz de dimensión 3×4 según el valor del parámetro \displaystyle  a :

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&a \end{pmatrix}

La matriz A será como máximo de rango 3, ya que no podemos calcular ningún determinante 4×4. Por tanto, lo primero que debemos hacer es resolver todos los determinantes de orden 3 posibles (con la regla de Sarrus), para ver si puede ser de rango 3:

 \displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&-2\\[1.1ex] 4&12&8\\[1.1ex] 2&6&4 \end{vmatrix} & =-48-48-48+48+48+48 =\bm{0}\end{aligned}

 \displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&1\\[1.1ex] 4&12&-4\\[1.1ex] 2&6&a \end{vmatrix} & =-12a+24+24-24-24+12a=\bm{0}\end{aligned}

 \displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-2&1\\[1.1ex] 4&8&-4\\[1.1ex] 2&4&a \end{vmatrix} & =-8a+16+16-16-16+8a=\bm{0}\end{aligned}

 \displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -3&-2&1\\[1.1ex] 12&8&-4\\[1.1ex] 6&4&a \end{vmatrix} & =-24a+48+48-48-48+24a=\bm{0}\end{aligned}

Los resultados de todos los determinantes de orden 3 posibles son 0, independientemente del valor de  \displaystyle  a. Así que la matriz nunca será de rango 3, ya que da igual el valor que tome  \displaystyle  a que nunca habrá un determinante 3×3 diferente de 0.

Así que ahora probamos con los determinantes de dimensión 2×2. Sin embargo, todos los determinantes de orden 2 también dan 0 excepto el siguiente:

 \displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 8&-4\\[1.1ex] 4&a \end{vmatrix} & =8a+16 \end{aligned}

Ahora igualamos el resultado a 0 y resolvemos la ecuación:

 \displaystyle 8a+16=0

 \displaystyle 8a=-16

 \displaystyle a=\cfrac{-16}{8} =-2

Por tanto, cuando  \displaystyle  a sea diferente de -2, el determinante 2×2 será diferente de 0 y, en consecuencia, el rango de la matriz será 2.

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

Ahora vamos a ver qué sucede cuando  \displaystyle  a=-2 :

 \displaystyle  a = -2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&-2 \end{pmatrix}

Como hemos visto antes, cuando  \displaystyle  a es -2, todos los determinantes de orden 2 son 0. Por tanto, no puede ser de rango 2. Y como sí que hay al menos un determinante 1×1 diferente de 0, en este caso el rango de la matriz es 1:

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=1} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }

De manera que hemos encontrado 2 casos en los que el rango de la matriz A varia en con el valor que toma el parámetro:

 \displaystyle  \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq -2 \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -2\ \longrightarrow \ Rg(A)=1}   \\ & \end{array} }

 

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