Determinante de una matriz

En esta página verás qué son y cómo calcular determinantes 1×1, 2×2, 3×3, 4×4,… y de cualquier dimensión. Además, encontrarás cómo resolver un determinante por adjuntos y, finalmente, las propiedades de los determinantes.

¿Qué es un determinante de una matriz?

Un determinante es una matriz cuadrada representada con una barra vertical a cada lado de la matriz. 

Por ejemplo, si tenemos la siguiente matriz:

 \displaystyle A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

El determinante de la matriz A se representa de la siguiente manera:

 \displaystyle\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{vmatrix} \right)

Es importante tener en cuenta que solo se pueden resolver determinantes de matrices cuadradas.

Determinante de una matriz 1×1

Cuando la matriz es de dimensión 1, significa que solo tiene un elemento. Por tanto, el determinante es el propio elemento en sí.

Ejemplo:

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} -2 \end{pmatrix}

Se trata de una matriz 1×1, por lo tanto, el determinante A es:

 \displaystyle |A|=\begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} =  \bm{-2}

Comentario: No hay que confundir el determinante de una matriz 1×1 con el valor absoluto de un número.

 

Determinante de una matriz 2×2

Para calcular el determinante de una matriz 2×2 debemos multiplicar los elementos de la diagonal principal y restar el producto de la diagonal secundaria.

Cómo calcular un determinante 2x2, ejemplo, ejercicio resuelto

Ejemplos:

 \displaystyle\begin{vmatrix} 5 & 6 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 5 \cdot 4 - 2 \cdot 6 = 20 - 12 = \bm{8}

 \displaystyle\begin{vmatrix} 2 & -3 \\[1.1ex] 1 & 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 4 - 1 \cdot (-3) =8-(-3) = 8+3= \bm{11}

 

Ejercicios resueltos de determinantes de matrices 2×2

Ejercicio 1

Calcula el siguiente determinante 2×2:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 5 \\[1.1ex] 2 & 6  \end{vmatrix}

Para hacer un determinante 2×2 tenemos que multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarle el producto de la diagonal secundaria:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 5 \\[1.1ex] 2 & 6\end{vmatrix} = 3 \cdot 6 - 2 \cdot 5 = 18 - 10 = \bm{8}

 

Ejercicio 2

Resuelve el siguiente determinante de dimensión 2×2:

 \displaystyle \begin{vmatrix} -2 & 4 \\[1.1ex] 1 & 5  \end{vmatrix}

Para resolver un determinante de orden 2 debemos multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarle el producto de la diagonal secundaria:

\displaystyle \begin{vmatrix} -2 & 4 \\[1.1ex] 1 & 5 \end{vmatrix} = -2 \cdot 5 - 1 \cdot 4 = -10 - 4 = \bm{-14}

 

Ejercicio 3

Calcula el siguiente determinante de orden 2:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex]  -7 & 6  \end{vmatrix}

Para resolver un determinante de dimensión 2×2 debemos multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarle el producto de la diagonal secundaria:

\displaystyle \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] -7 & 6 \end{vmatrix} = 4 \cdot 6 - (-7) \cdot (-2) = 24 - (+14) = \bm{10}

 

Determinante de una matriz 3×3

Para hacer los determinantes de las matrices 3×3 debemos aplicar la Regla de Sarrus:

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus dice que para calcular un determinate de orden 3 tenemos que sumar el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos, y luego restar el producto de los elementos de la diagonal secundaria y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos. 

En el diagrama que hay a continuación se puede ver en qué consiste la regla de Sarrus:

regla de Sarrus, cómo resolver el determinante de una matriz 3x3
 
cómo hacer el determinante de una matriz 3x3
 

Ejemplos:

 \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 \cdot 2- (-1) \cdot 1 \cdot 1 \\ & = 2 + 0 -12 +6 - 0 +1 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}

 \begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 4 & -3 & -1 \end{vmatrix} & = 1\cdot 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 4 +3 \cdot (-3) \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1 \cdot 1- 3 \cdot 0 \cdot (-1) \\ & = -2 +0 -18 - 16 +3- 0 \\[2ex] & = \bm{-33} \end{aligned}

 

Ejercicios resueltos de determinantes de matrices 3×3

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente determinante 3×3:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}

Para resolver el determinante de una matriz 3×3 tenemos que aplicar la regla de Sarrus:

 \displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 0 & 5 \end{vmatrix} & = 1 \cdot (-1) \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) \cdot 0 - 0 \cdot 3 \cdot 1- 2 \cdot 2 \cdot 5 \\ & = -5+6+0-0-0-20 \\[2ex] & = \bm{-19} \end{aligned}

 

Ejercicio 2

Calcula el siguiente determinante de orden 3:

 \displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 1 & 3 & -1 \end{vmatrix}

Para calcular el determinante de una matriz de tercer orden debemos utilizar la regla de Sarrus:

 \displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} & = -1 \cdot (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 2 - 1 \cdot (-2) \cdot 2 - 3 \cdot 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 \cdot (-1) \\ & = -2 +2+18+4+6+3 \\[2ex] & = \bm{31} \end{aligned}

 

Ejercicio 3

Halla la solución del siguiente determinante 3×3:

 \displaystyle \begin{vmatrix} -2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}

Para hacer un determinante de una matriz 3×3 tenemos que usar la regla de Sarrus:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} -2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} & = \\ & = -2 \cdot (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 5 \cdot 3 + 6 \cdot (-1) \cdot 4 \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - 3 \cdot (-3) \cdot 4 - (-1) \cdot 5 \cdot (-2) - 6 \cdot 1 \cdot 2 \\[2.5ex] & =12+15-24+36-10-12 \\[2.5ex] & = \bm{17} \end{aligned}

 

¿Cómo calcular un determinante por adjuntos o cofactores?

Calcular un determinante por adjuntos (o cofactores) consiste en sumar los productos de los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos adjuntos.

A este método también se le llama resolver un determinante por la regla de Laplace.

Ejemplo:

Veamos un ejercicio resuelto de cómo resolver un determinante por adjuntos. Vamos a hacer el siguiente determinante:

  \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}

Primero de todo, debemos escoger una columna o una fila del determinante. En este caso, elegimos la primera columna, ya que tiene un 0 y, por tanto, será más fácil de resolver.

Ahora tenemos que multiplicar los elementos de la primera columna por sus respectivos adjuntos:

  \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

El adjunto de 0 no hace falta calcularlo, porque al multiplicarlo por 0 se anulará. Por tanto, lo podemos simplificar:

 \displaystyle  = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

 \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)}  + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

Ahora procedemos a calcular los adjuntos:

Recuerda que para calcular el adjunto de   a_{ij} , es decir, del elemento de la fila   i y de la columna   j , hay que aplicar la siguiente fórmula:

 \text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

Donde el menor complementario de   a_{ij} es el determinante de la matriz eliminando la fila   i y la columna   j .

  \displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5  \\[1.1ex] 7 & -4   \end{vmatrix}  + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1  \\[1.1ex] -2 & 5   \end{vmatrix}

Resolvemos las potencias y los determinantes:

  = 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)

  = 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17

Y operamos con la calculadora:

  = -54 + 51

  = \bm{-3}

Por tanto, el resultado del determinante es -3.

Fíjate que si calculamos el determinante con la regla de Sarrus obtenemos el mismo resultado:

 \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4   \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot  3 +  0 \cdot 7 \cdot 1  - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4)  \\  & =  16 +45 + 0  +6 - 70 -0   \\[2ex] &  =  \bm{-3}   \end{aligned}

Una vez sabemos cómo se calcula un determinante por adjuntos, ya podemos ver cómo hallar el resultado de un determinante de orden 4:

 

Determinante de una matriz 4×4

Para resolver el determinante de matriz de orden 4×4, debemos aplicar el procedimiento que acabamos de ver de los adjuntos. Es decir, escogemos cualquier fila o columna, y sumamos los productos de sus elementos por sus respectivos adjuntos.

Sin embargo, usando este procedimiento con un determinante de orden 4 se tienen que calcular muchos determinantes 3×3, y estos suelen llevar mucho tiempo. Por tanto, antes de calcular los adjuntos se hacen transformaciones a las filas, de una manera similar al método de Gauss. Ya que se puede sustituir una fila de un determinante por la suma de la misma fila más otra fila multiplicada por un número.

Por tanto, para calcular un determinante de orden 4 por adjuntos, debemos escoger la columna que contenga más ceros, ya que nos facilitará las cálculos. Y luego realizamos operaciones internas con las filas, para convertir en cero todos los elementos de la columna menos uno.

Veamos cómo se resuelve un determinante 4×4 con un ejemplo:

Ejemplo:

Vamos a solucionar el siguiente determinante 4×4:

  \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}

En este caso, la columna que tiene más ceros es la primera columna. Por tanto, escogemos la primera columna.

Y aprovechando que hay un 1 en esa columna, vamos a convertir todos los otros elementos de la primera columna en 0. Porque es más fácil hacer cálculos con la fila que tiene un 1.

Por lo tanto, para transformar todos los otros elementos de la columna en 0, a la segunda fila le sumamos la primera fila, y a la cuarta fila le restamos la primera fila multiplicada por 2. La tercera fila no hace falta modificarla, porque ya tiene un 0 en la primera columna.

  \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1}  \\[1.1ex]  \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix}   \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}

Ahora que ya hemos convertido en 0 todos los elementos menos uno de la columna escogida, calculamos el determinante por adjuntos. Es decir, sumamos los productos de los elementos de la columna por sus respectivos adjuntos:

  \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Los términos multiplicados por 0 se anulan, así que los simplificamos:

 =1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

 =1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}

 =\text{Adj(1)}

De modo que solamente tenemos que calcular el adjunto de 1:

  \displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}  3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0   \end{vmatrix}

Calculamos el determinante 3×3 con la regla de Sarrus y la potencia:

  \inlinestyle = 1 \cdot \bigl[  3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7)  \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]

=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7)  \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0

Y finalmente resolvemos las operaciones con la calculadora:

 \displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0

  \displaystyle =\bm{98}

Ejercicios resueltos de determinantes 4×4

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente determinante de orden 4:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & 1 & 4 \\[1.1ex] 2 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}

Haremos el determinante 4×4 por adjuntos. Para ello, primero hacemos operaciones con las filas para convertir en cero todos los elementos de una columna menos uno:

 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & 1 & 4 \\[1.1ex] 2 & 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 - f_1}  \\[1.1ex] \  \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 & -1 & 5 \\[1.1ex] 2 & 0 & -2 & 1 \end{vmatrix}

Y ahora resolvemos el determinante 4×4 por adjuntos con la segunda columna:

  \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 & -1 & 5 \\[1.1ex] 2 & 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Simplificamos los términos:

 =1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Calculamos el adjunto de 1:

 \displaystyle = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\[1.1ex] 1 & -1 & 5 \\[1.1ex] 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}

Y, finalmente, calculamos el determinante 3×3 con la regla de Sarrus:

 \displaystyle = (-1)^{3} \cdot \bigl[-3+20+2-2+30-2 \bigr]

 \displaystyle = -1 \cdot \bigl[45 \bigr]

 \displaystyle = \bm{-45}

 

Ejercicio 2

Calcula el siguiente determinante de orden 4:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 4 & 0 & -2 \\[1.1ex] 3 & 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Resolveremos el determinante 4×4 por el método de los cofactores. Para ello, antes debemos hacer operaciones con las filas para convertir en cero todos los elementos de una columna menos uno:

 \begin{vmatrix} 5 & 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 4 & 0 & -2 \\[1.1ex] 3 & 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_2}  \end{matrix} \begin{vmatrix}-1 & 8 & 0 & 2 \\[1.1ex] 2 & -2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 4 & 0 & -2 \\[1.1ex] 5 & 1 & 0 & 0\end{vmatrix}

Ahora resolvemos el determinante 4×4 por adjuntos con la tercera columna:

  \begin{vmatrix} -1 & 8 & 0 & 2 \\[1.1ex] 2 & -2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 4 & 0 & -2 \\[1.1ex] 5 & 1 & 0 & 0\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Simplificamos los términos:

 = \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Calculamos el adjunto de 1:

 \displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}-1 & 8 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -2 \\[1.1ex] 5 & 1 & 0\end{vmatrix}

Y, finalmente, calculamos el determinante 3×3 con la regla de Sarrus y la calculadora:

 \displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[+0-80+6-40-2-0 \bigr]

 \displaystyle = -1 \cdot \bigl[-116 \bigr]

 \displaystyle = \bm{116}

 

Ejercicio 3

Halla el resultado del siguiente determinante de orden 4:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 1 & 7 & -5 & 4 \\[1.1ex] -1 & 3 & -2 & 1  \end{pmatrix}

Resolveremos el determinante 4×4 por el método de los adjuntos. Pero primero hacemos operaciones con las filas para convertir en cero todos los elementos de una columna menos uno:

 \begin{vmatrix} 4 & -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 1 & 7 & -5 & 4 \\[1.1ex] -1 & 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + 2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 4f_4} \\[1.1ex] \  \end{matrix} \begin{vmatrix}4 & -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & 5 & 1 & 0 \\[1.1ex] 5 & -5 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}

Ahora resolvemos el determinante 4×4 por adjuntos con la tercera columna:

 \begin{vmatrix}4 & -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & 5 & 1 & 0 \\[1.1ex] 5 & -5 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}  = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}

Simplificamos los términos:

 = \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}

= \text{Adj(1)}

Calculamos el adjunto de 1:

 \displaystyle = (-1)^{4+4} \begin{vmatrix}4 & -1 & 2 \\[1.1ex] 1 & 5 & 1 \\[1.1ex] 5 & -5 & 3\end{vmatrix}

Y, por último, resolvemos el determinante 3×3 con la regla de Sarrus y la calculadora:

 \displaystyle = (-1)^{8} \cdot \bigl[60-5-10-50+20+3\bigr]

 \displaystyle = 1 \cdot \bigl[18 \bigr]

 \displaystyle = \bm{18}

 

Ejercicio 4

Calcula el resultado del siguiente determinante de orden 4:

 \displaystyle \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & -5 & -3 & -9 \\[1.1ex] -2 & 5 & -6 & 2 \end{pmatrix}

Calcularemos el determinante 4×4 por adjuntos. Primero hacemos operaciones con las filas para convertir en cero todos los elementos de una columna menos uno:

 \begin{vmatrix}-1 & 2 & 2 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & -5 & -3 & -9 \\[1.1ex] -2 & 5 & -6 & 2\end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +3f_1} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3+5f_1} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 -2f_2}  \end{matrix} \begin{vmatrix}-1 & 2 & 2 & 3 \\[1.1ex] 0 & 4 & 9 & 13 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & 6 \\[1.1ex] 0 & 1 & -10 & -4\end{vmatrix}

Ahora resolvemos por adjuntos el determinante 4×4 con la primera columna:

\displaystyle \begin{vmatrix}-1 & 2 & 2 & 3 \\[1.1ex] 0 & 4 & 9 & 13 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & 6 \\[1.1ex] 0 & 1 & -10 & -4 \end{vmatrix}  = -1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}+0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Simplificamos los términos:

 = -1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

=- \text{Adj(-1)}

Calculamos el adjunto de -1:

 \displaystyle =- (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 4 & 9 & 13 \\[1.1ex] 5 & 7 & 6 \\[1.1ex] 1 & -10 & -4\end{vmatrix}

Y, por último, resolvemos el determinante 3×3 con la regla de Sarrus y la calculadora:

 \displaystyle = -(-1)^{2} \cdot \bigl[-112+54-650-91+240+180\bigr]

 \displaystyle = -(1) \cdot \bigl[-379 \bigr]

 \displaystyle = - \bigl[-379\bigr]

 \displaystyle = \bm{+379}

 

Una vez ya hemos visto varios métodos de cómo calcular un determinante de cualquier dimensión, vamos a examinar las propiedades que tienen los determinantes:

Propiedades de los determinantes

Propiedad 1

El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta.

 \lvert A \rvert = \lvert A^t \rvert

Ejemplo:

 \lvert A \rvert =  \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 1 & 5  \end{vmatrix} =  2 \cdot 5 - 1 \cdot 3 = 10 - 3 = \bm{7}

Ahora trasponemos la matriz 2×2 y resolvemos el determinante. Fíjate que obtenemos el mismo resultado que antes:

 \lvert A^t \rvert =  \begin{vmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & 5  \end{vmatrix} =  2 \cdot 5 - 3 \cdot 1 = 10 - 3 = \bm{7}

 

Propiedad 2

Si un determinante tiene una fila o una columna llena de ceros, el determinante da 0.

 \displaystyle \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & a_{13} \\[1.1ex] a_{21} & 0 & a_{23} \\[1.1ex] a_{31} & 0 & a_{33}\end{vmatrix}=0

 

Ejemplo:

  \begin{vmatrix} 5 & 6 & 2 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] -3 & 1 & 4 \end{vmatrix}   =  \bm{0}

En este ejemplo el determinante da 0 porque la segunda fila es todo ceros.

 

Propiedad 3

Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o múltiples, el determinante da 0.

Ejemplo:

  \begin{vmatrix} 3 & 4 & 4 \\[1.1ex] -1 & 5 & 5 \\[1.1ex] 6 & 2 & 2 \end{vmatrix} =  \bm{0}

En este caso el determinante es igual a 0 porque las columnas 2 y 3 son iguales.

 

Propiedad 4

Si se cambian dos filas o dos columnas entre sí, el determinante da el mismo resultado pero cambiado de signo.

\displaystyle  \begin{vmatrix} a & b & c \\[1.1ex] d & e & f \\[1.1ex] g & h & i \end{vmatrix}= - \begin{vmatrix} a & c & b \\[1.1ex] d & f & e \\[1.1ex] g & i & h \end{vmatrix}

 

Ejemplo:

  \begin{vmatrix} 3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 1 & 5 & 6 \\[1.1ex] 1 & 0 & -3 \end{vmatrix} = \displaystyle -45 +12+0+20-0+6=  \bm{-7}

Ahora cambiamos de orden las columnas 2 y 3 entre sí. Fíjate que el resultado es el mismo pero cambiado de signo:

  \begin{vmatrix} 3 & -4 & 2 \\[1.1ex] 1 & 6 & 5 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \end{vmatrix}   = \displaystyle 0-20-6-12+45-0=  \bm{+7}

 

Propiedad 5

Multiplicar todos los elementos de toda una fila o de toda una columna por un número real, es igual a multiplicar el resultado del determinante por dicho número.

 \displaystyle \begin{vmatrix} k \cdot a_{11} &  k \cdot a_{12} & k \cdot a_{13} \\[1.1ex] a_{21} &  a_{22} & a_{23} \\[1.1ex] a_{31} &  a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =k \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[1.1ex] a_{21} &  a_{22} & a_{23} \\[1.1ex] a_{31} &  a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

\displaystyle  \begin{vmatrix} k \cdot a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[1.1ex] k \cdot a_{21} &  a_{22} & a_{23} \\[1.1ex] k \cdot a_{31} &  a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =k \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[1.1ex] a_{21} &  a_{22} & a_{23} \\[1.1ex] a_{31} &  a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

Ejemplo:

\displaystyle   \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4  \end{vmatrix}   = 8-3= \bm{5}

Ahora cogemos el mismo determinante y multiplicamos toda una fila por 2. Verás que el resultado será el del determinante anterior pero multiplicado por 2, es decir 10:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \\[1.1ex] 1 & 4  \end{vmatrix}   =  \begin{vmatrix} 4 & 6 \\[1.1ex] 1 & 4  \end{vmatrix} = 16-6 =\bm{10}

 

Propiedad 6

El determinante del producto de dos matrices es igual al producto del determinante de cada matriz por separado.

\displaystyle  \lvert A \cdot B \rvert = \lvert A \rvert \cdot \lvert B \rvert

Ejemplo:

Para demostrar esta propiedad de los determinantes, vamos a calcular de las dos maneras posibles el determinante del producto de las siguientes dos matrices:

\displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 \end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix}

Primero haremos la multiplicación de las dos matrices, y luego calcularemos el determinante de la matriz resultante:

\displaystyle  \left| A \cdot B \right| =\left| \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -1  \end{pmatrix}\right|  = \left| \begin{pmatrix} 7 & -1 \\[1.1ex] 13 & -1  \end{pmatrix} \right|  = -7 - (-13) = \bm{6}

Ahora calculamos el determinante de cada matriz por separado, y luego multiplicamos los resultados:

\displaystyle \lvert A \rvert \cdot \lvert B \rvert =  \left| \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5  \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -1  \end{pmatrix}\right| = -1\cdot (-6)= \bm{6}

Como ves, hacer primero la multiplicación de las matrices y después el determinante da el mismo resultado que hacer primero el determinante de cada matriz y luego la multiplicación de los resultados.

 

Propiedad 7

Se puede sustituir la fila de un determinante por la suma (o resta) de la misma fila más (o menos) otra fila multiplicada por un número.

Ejemplo:

Vamos a demostrar esta propiedad con un ejemplo: en primer lugar vamos a calcular un determinante, luego operaremos en una fila del determinante y finalmente volveremos a calcular su resultado. Ya verás como obtenemos el mismo resultado en los dos casos.

Primero calculamos un determinante 3×3 con la regla de Sarrus:

  \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 0 & 1 \\[1.1ex] 0 & -3 & 6 \end{vmatrix} \displaystyle=0+0+9-0+6-18 =  \bm{-3}

Ahora a la fila 2 le sumamos la primera fila multiplicada por 2:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 0 & 1 \\[1.1ex] 0 & -3 & 6 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + 2f_1}  \\[1.1ex] \  \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 7 & 2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -3 & 6 \end{vmatrix}

Y resolvemos el determinante después de haber transformado una de sus filas:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 7 & 2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -3 & 6 \end{vmatrix} = 24+0+21-0-6-42=\bm{-3}

En los dos casos el resultado ha sido -3. Así que queda demostrado que el resultado de un determinante no varia si se sustituye una fila por la suma de la misma fila más otra fila multiplicada por un número.

 

Ejercicios con propiedades de los determinantes

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente determinante:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] -1 & 6 & 0 \end{vmatrix}

Si un determinante tiene una columna o una fila llena de ceros, el determinante da 0 (propiedad 2). Por tanto, el resultado del determinante es 0, porque toda la tercera columna son ceros.

 

Ejercicio 2

Resuelve el siguiente determinante:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 4 & 2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 5 & 3 & 2 \\[1.1ex]4 & 2 & -3 & 5 \\[1.1ex] -2 & 0 & 4 & 3 \end{vmatrix}

Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o múltiples, el determinante da 0 (propiedad 3). Por lo tanto, el resultado del determinante es 0, porque la primera fila y la tercera fila son iguales.

 

Ejercicio 3

Calcula el resultado del siguiente determinante:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 1 & 5 & 6 \\[1.1ex] 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 & 4 \end{vmatrix}

Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o múltiples, el determinante da 0 (propiedad 3). Por lo tanto, el resultado del determinante es 0, porque la cuarta columna es el doble de la primera columna.

 

Ejercicio 4

Sabemos el resultado de un determinante, aunque no conocemos los elementos de la matriz:

 \displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d  \end{vmatrix} = 3

A partir del resultado del determinante anterior y de las propiedades de los determinantes, calcula el resultado de los siguientes determinantes:

 \displaystyle \mathbf{a} \bm{)} \ \begin{vmatrix} a & c  \\[1.1ex] b & d  \end{vmatrix} \qquad \mathbf{b} \bm{)} \ \begin{vmatrix} b & a  \\[1.1ex] d & c  \end{vmatrix} \qquad \mathbf{c} \bm{)} \ \begin{vmatrix} a & 3b  \\[1.1ex] c & 3d  \end{vmatrix}

a)  \begin{pmatrix} a & c  \\ b & d  \end{pmatrix} es la matriz traspuesta de \begin{pmatrix} a & b  \\ c & d  \end{pmatrix}  . Y el determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta (propiedad 1). Por tanto, el resultado de este determinante también es 3.

 \displaystyle  \begin{vmatrix} a & c  \\[1.1ex] b & d  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d  \end{vmatrix}=\bm{3}

 

b) En el determinante   \begin{vmatrix} b & a  \\ d & c  \end{vmatrix} se han cambiado las columnas 1 y 2 entre sí respecto al determinante del enunciado   \begin{vmatrix} a & b \\ c & d  \end{vmatrix}  . Por lo tanto, según la propiedad 4, el resultado es el mismo que el resultado del determinante del enunciado pero cambiado de signo, es decir, -3.

 \displaystyle \begin{vmatrix} b & a  \\[1.1ex] d & c  \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d  \end{vmatrix}= \bm{-3}

 

c) En el determinante   \begin{vmatrix} a & 3b  \\ c & 3d  \end{vmatrix} se ha multiplicado toda la segunda columna del determinante del enunciado por 3. Por tanto, a partir de la propiedad 5, podemos deducir que su resultado también será el resultado del determinante del enunciado multiplicado por 3, es decir, 9.

 \displaystyle \begin{vmatrix} a & 3b  \\[1.1ex] c & 3d  \end{vmatrix} =3 \begin{vmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d  \end{vmatrix} =3 \cdot 3 = \bm{9}

 

Ejercicio 5

Sabemos el resultado de estos dos determinantes:

 \displaystyle\vert A \vert = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\[1.1ex] -2 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 3 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 4 & 1 & 1 \end{vmatrix}=8

 \displaystyle\vert B \vert = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 & 2 \\[1.1ex] -1 & -2 & 0 & 0 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = - 4

A partir de esta información, calcula:

 \displaystyle \vert A \cdot B \vert

Para hallar el resultado del determinante, no hace falta multiplicar las matrices 4×4. Ya que el determinante del producto de dos matrices es igual al producto del determinante de cada matriz por separado (propiedad 6). Por tanto:

  \vert A \cdot B \vert  = \vert A \vert \cdot \vert B \vert = 8 \cdot (-4) = \bm{-32}

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